面上的等周问题是微分几何的基本问题之一，研究历史悠久，若要完整的讲述其中的故事，我们不妨从亨利普赛尔（HenryPurcell,-）最著名的歌剧《狄朵与埃涅阿斯》（DidoandAeneas）聊起。这部歌剧取材于维吉尔（Virgil）的史诗《埃涅阿斯纪》（Aeneid），演绎了迦太基（Carthagia）女王狄朵和特洛伊英雄埃涅阿斯的爱情悲剧，歌剧中女巫姐妹为了破坏他们的爱情，欺骗埃涅阿斯离开迦太基去完成一项使命，狄朵误以为他背叛了自己，于是自焚身死。
据说公元前年，狄朵与埃涅阿斯的相遇其实并不浪漫，她一生命途坎坷，在此之前因丈夫被暗杀而被迫逃离故土，她一路逃亡来到北非海岸突尼斯，想向当地人买一块地皮，但屡遭拒绝。狄朵说：“我只要一块牛皮能围起来的面积就可以了。”当地人慷慨同意，却未料到腓尼基人过人的智慧：他们将牛皮剪成小条，在海岸边围成一个面积最大的半圆形，建立了迦太基，昌盛一时。
在这里我们看到了等周问题的影子——在给定的周长内围住尽可能多的土地面积，遗憾的是这位潜在的女数学家选择将生命献给爱情，最终这个数学问题还是由古希腊数学家给大致解决了。
这个结论早已被人熟知，但要严格地证明，却实属不易。在所有周长相等的图形当中，圆拥有最大的面积；同样地，在所有面积相等的图形当中，圆拥有最短的周长。这是数学中一个非常重要的结论，数学家们把它称作“等周定理”。虽然直到19世纪，数学家们才严格地证明了等周定理，但早在古希腊时代，人们就已经认识到了圆的这个漂亮的性质。难怪古希腊大哲学家毕达哥拉斯会把圆看作是最美丽的图形。
以等周定理为基础，巧妙地利用轴对称的方法，我们还可以解决很多与面积最大化或者线路最短化有关的问题。在这里，我想给同学们留下两个思考题。阅读答案之前，不妨自己先仔细想一想。
问题1：如何用给定长度的栅栏在90度的墙角处围出一块面积最大的空地？
问题2：给定一个等边三角形，如何用一根最短的线条（不一定是直线）把它分成面积相等的两部分？
问题1的答案：围出一块90度扇形的空地。把整个图形连续翻折三次，于是这段栅栏会变成原来的四倍长，并形成一条封闭曲线。我们只需要让这条封闭曲线内的面积最大即可，而当这条封闭曲线正好是一个圆的时候，它内部的面积达到最大。因此，原问题答案便是，在墙角处围出一个90度的扇形。
问题2的答案：一段60度的圆弧。把等边三角形连续翻折五次，得到一个正六边形。等边三角形中的那根线条就会变成原来的六倍长，并且围成了一个封闭图形，其面积应该等于整个正六边形面积的一半。我们的目标就是让这个封闭图形的周长最小，显然我们应该让这个封闭图形正好是一个圆。因此，给定一个等边三角形后，平分其面积的最短线条就是一段60度的圆弧。
最早尝试证明的，是公元前2世纪古希腊的芝诺多罗斯。他先证明了：
1.等周的多边形中，正多边形面积大
我们准备任意一个多边形。周长不变的情况下，要使它的面积大，那么任意两条相邻边，必须是相等的。
这是因为，对于两条相邻边AB和AC，因总周长不变，有AB＋AC不变，A的轨迹恰是一个椭圆；所以当△ABC面积最大时，BC边上的高最大，此时A是短轴端点，有AB＝AC。以此推类，得到任意一条边都相等，因此正多边形面积更大。
2.等周的正多边形中，边越多面积越大
我们再准备任意一个正n边形。从中心联结各个顶点，像切蛋糕一样把它分成许多三角形。令周长为C，每个三角形的高为h，那么总面积就是Ch。通过解三角形，能求出。
通过求导可知，随着n变大，h也变大，而C不变；故边数越多，该正n边形面积越大。
综上，通俗地说，面积要大，边数就要多，就变成了“正无穷边形”，那么它是什么？它正是一个圆。
所以芝诺多罗斯定下结论：等周的图形，圆形面积最大。然而，从多边形变成圆，看似小小的一步，实则牵涉到极限的讨论。而当时对微分、无穷角的思想一头雾水，所以该证明未被彼时世人所承认。
随之而来的中世纪，人们专注于其他有趣的数学问题，连属于三大数学家的欧拉、高斯也未钻研该猜想，所以等周定理一度陷入一筹莫展的境地。
直到年，德国数学家雅可布斯坦纳，才给出了第一个真正意义上的证明。我们来看一看他巧妙的证明。一个图形面积最大，它必须满足：
1.它一定是外凸的内凹的图形可保持周长不变，通过翻折得到更大的图形。
2.图形的一条弦平分周长，那么它一定平分面积
以平分周长的弦为分割线，左右两边面积一定相等，否则可通过翻折得到更大的图形。
3.一条曲线与其两端点所在直线组成的图形，半圆面积最大
这点需要仔细讲讲。首先，曲线可为任意形状，但总长是定值C。联结曲线的两个端点A和B，要使这个图形面积最大，它至少需满足定理1和2，即它是凸的。
现在我们在曲线上任取一点P，联结PA与PB，将图形分成三部分。因曲线长C不变，故左右两部分不变，只有△ABP面积可以改变。
而△ABP面积最大时，PA与PB垂直，即P在以AB为直径的半圆上。又P为曲线上任意一点，因此P的轨迹是一个半圆，即面积最大的图形为半圆形。证明完了上述命题，我们取两个半圆拼在一起，得到一个圆，则这个圆是等周图形中面积最大的，这就证明了等周定理。
那至此就彻底解决了等周定理吗？事实上仍然没有。上述证明看似已经非常合理，数学家却不以为然，提出质疑：这一切的前提都是，面积最大的图形是存在的；如果不存在，上述证明只是无用功。可见解决问题的同时，往往会有更多问题层见叠出，并吸引数学家们砥志研思；而这正是数学乃至其他学科能蓬勃发展至今的原因。
斯坦纳等一众数学家的努力让大众相信，脱离了代数与分析的数学仍旧是强大的武器，但我们同时又会如此真切地感受到几何与方程碰撞产生的奇妙结果。因为下文会用到面积公式，不妨先用几何的方法来推导一下。
于是数学家们孜孜不倦地继续寻找证明。时光荏苒，年，德国数学家魏尔斯特拉斯，用变分法第一次严格地证明了等周定理。变分法是处理函数的数学分支，关键定理是欧拉——拉格朗日方程，在数学、理论物理学、经济学中有很大作用。证明过程较为复杂，在此略去。
随后，年，赫尔维茨凭傅里叶级数和格林定理，给出纯解析的证明。不少数学家也相继给出证明，其中一些人使用了初等数学，是很简单的。
三角形的面积谁都会算，但换一种思路，运用几何直观便可得到另一种表达方式。首先引入三角形的外接矩形，之后按照填补色块的思路简单推导就得到的另一种形式的面积公式。若将三角形顶点置于平面坐标系的第一象限中，逆时针方向赋予顶点坐标，则三角形面积为A=(x1y2-x2y1)/2。
式。值得一提的是，斯坦纳的证明皆是基于解的存在性假设，这一点使他的证明并不严谨，甚至有同行用歌剧中狄朵的最后一句话来调侃他：“铭记我，但啊，忘了我的命运吧。”（Rememberme,butah!Forgetmyfate.）如此看来，几何方法还需要与其他数学知识相结合才能更好地发挥其效用，因此在十九世纪与其他数学学派的竞争中，以斯坦纳为首的坚持纯几何方法的学派明显处于了劣势。
如我们所熟悉的等周定理的两个共轭命题：
I所有周长相等的平面图形中，圆面积最大；
II所有面积相等的平面图形中，圆周长最小．
也有人证明了三维情况的等周定理，即表面积一定的封闭曲面，球体的体积最大，这和物理中的最小作用量原理有关：无重力的情况下，水珠会形成球体。至此，困扰人们千年的等周定理终于得以解决。
大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美丽的花朵，都喜欢以圆形呈现，生活中各种容器和管道，其横截面往往是圆的。这样最节省材料，优化资源分配，有利于可持续发展。根据等周定理，我们知道如果原料有限，圆形能得到最大的面积，这也是为什么现在的水管等的截面多是圆形。从树木的启示到数学定理，反映了技术（工匠传统）和科学（学者传统）互相促进的过程。
大自然也偏爱球形，太阳、地球、月亮、行星，头盖骨等都自然地形成球形或近似球形。这与等周问题跟物理中的最小作用量原理有关。依据三维等周原理：表面积相同，球的体积最大（等价于等体积球的表面积最小），根据这个定理，我们可以解释很多现象，如天气寒冷的时候蜷缩起来缩小表面积可以减少热量损失，真空条件下水珠呈球形,使水珠形状成为完全对称的球体。很多水果是球形的。寒夜，一只猫总是把自己的身体尽量蜷成球形。
树木也遵循这个原理，截面圆形可以最大限度的运输水分和养料，最有利于植物生长。同时根据帕斯卡定律，压强等于压力除以面积，整棵大树全靠主干支撑，圆形面积下数目承受的压强最小。此外，植物生长风吹日晒，经常收到冲击，圆形的树干不论风卷着尘砂杂物从哪个方向来，都容易沿着圆面的切线方向掠过，受影响的只是极少部分。郑板桥《竹石》中说：“千磨万击还坚劲，任尔东西南北风”也是这个道理，而且暗合中国古代“外圆而内方”的君子之道，科学和文化内涵完美的融合在君子竹身上。
苏步青教授认为：等周问题时人类理性文明中，既精要又美妙的一个古典几何问题，是数学教授理想的进修课题。等周定理能启迪我们不断提出问题，波利亚说，等周的根深扎于我们的经验直觉之中，它是灵感的不竭源泉。
参考文献：
*，一个爱情悲剧里的数学问题