TUhjnbcbe - 2024/5/15 17:30:00
当涉及到知识和创造力时，自然是最深层的灵感来源。年，生物学家罗伯特·布朗在显微镜下观察花粉粒时，注意到了花粉粒的运动。它们漂浮在水面上，但它们的运动非常奇特。这些粒子并没有像一根木头漂浮在平静的河流上那样优雅地移动，而是表现出一种剧烈的随机运动。其他科学家也重复了这一观察结果，但所有的解释都是徒劳的。年，阿尔伯特·爱因斯坦出现了，他对这一自然现象作出了精彩的解释。阿尔伯特·爱因斯坦简单的概述为了更好地理解布朗运动，想象一下，在一场音乐会或一场体育赛事上，人群拥挤，所有人都在空中挥舞着他们的手。现在，想象一下把一个沙滩球扔到人群中，人群中挥动的手会拍打它。每次球碰到一只手，它就会被弹向一个新的方向，所以球似乎在经历随机运动。如果你想象一大群人，长时间地观察球的运动，你会注意到布朗运动的效果。这种运动是一件奇怪的事情：一种不断扭动的抖动，看起来和我们在日常生活中看到的完全不同。基本的过程往往是平滑的，就像落叶在风中吹拂的弯曲路径，但那些花粉颗粒似乎对它们有一个角运动。角的运动使它们在一个方向上跳跃，然后又在另一个方向上跳跃，而没有停下来。因此，不出意料的是，需要一些相当奇怪的数学来建立一个好的模型。普通微积分是物理科学的基础，但由于布朗运动方向的急剧变化，它很难确定布朗运动；事实上，必须发明一套全新的微积分系统来处理布朗运动。布朗运动的数学模型花了一些时间来建立，但当它建立时，它代表了一种新的物体。因此，它的变体被用于攻击其他技术无法完全处理的问题。生物学家已经使用布朗模型来改进鸟类、鱼类和昆虫在大群体中移动的行为模型；它被用来增强嘈杂的数字信号，比如改进医学超声波。它在金融资产价格和重大决策中也非常常用。深入布朗运动现在，让我们更深入地了解布朗运动。在上式中，函数表示粒子在时刻的位置，其中n为尺度因子，z为小的随机位移。但是，不要担心理解一些数学上的怪物，因为我们将用更直观的方法来理解这个方程。让我们以一个叫约翰的人为例，假设他喝了太多的酒。在回家的路上，他试着在田野里走一条笔直的路。然而，他所采取的每一步都是随机的左右摇摆；从鸟瞰图上看，他的路线像一条锯齿状的线。这就是所谓的随机游走。约翰平稳地向前移动，但他也在田野里横着挥手。当约翰走到球场的另一边时，他可能会幸运地到达大门，或者最终被困在树篱中。因此，我们可能会问，他到达大门的机会有多大？虽然这不是一个简单的答案，但我们可以从概率论中得到这个答案。我们应该期望约翰能到达大门(从技术上讲)，因为他的左右摇摆应该互相抵消。当然，任何一次散步都可能让他陷入树篱相关的困境，但如果我们必须在最后一个位置下注，我们应该押在大门上，因为那是他最常去的地方。我们也可以问约翰离大门有多远，他是落在球场的另一边离大门10米还是30米。约翰的路径具有数学家所称的马尔可夫性，即在穿过田野的每一刻，下一步只取决于他之前碰巧在哪里。在现实生活中，约翰可能开始转向左边，更有可能向左移动，但这不再是马尔可夫性质了。这个属性很重要，因为它大大简化了事情。到目前为止，一切顺利，但是我们还没有一个布朗运动的模型。假设John向前走了n步(其中n是John所走的步数)，每一步都伴随着向左或向右的交错。总的有效运动是对角线的。把这个变成布朗运动，我们开始增加n的值；更具体地说，我们让John开始采取更小的步骤。如果他走了一半的距离，那么n就翻倍了。现在，我们继续把n翻倍，直到它变得非常大。令人惊讶的是，当n变大时，关于这个过程的问题的答案——比如约翰最终到达远处边界的某一部分的可能性——会稳定下来，变成稳定的值。这鼓励我们去看约翰的行走，因为n走向无穷(齐诺的二分法)，这导致了数学过程称为维纳过程。现在，让我们从一个喝醉的约翰的粗鲁例子转回到花粉粒。当花粉粒漂浮时，它受到数百万水分子的冲击，这些水分子以一种非常复杂的方式在花粉粒周围快速运动并相互反弹，因此花粉粒实际上是随机的。现在，每一秒钟，一粒花粉就会被轰击成千上万次，每一次都有一个微小的推力。这些推力的总体效果是罗伯特布朗所指出的游移运动。现在，不得不说，在几百万个微小的粒子和维纳过程之间有很大的区别，主要的区别是几百万个微小的推力。即使这些无限大可以通过一些额外的工作被转换成数学秩序，它们也只是近似于物理状态。尽管如此，他们还是很接近这个数字，而且Weiner程序本身在其他领域和科目上也非常有用，比如高级金融。年，路易斯·巴切利耶发表了一篇题为《投机理论》的博士论文。论文运用当时新的布朗运动理论，分析了巴黎证券交易所的价格走势。巴切利耶的想法直到20世纪60年代才得到认可，但随着计算机时代的到来，布朗运动成为模拟未来股价走势的一种流行方式。随机游走技术模拟了不可预测的行为，其中每个变化都独立于前一个变化;布朗运动得出了最终结论。